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4.0版公务员考试名师微魔块III教材:数量考霸8堂课

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  Ø 数量考霸8堂课

  图书特色:

  跟考霸学习,技巧一步步提高

  向考霸偷师,数量分分钟拿下

  内容简介:

  本书的编写初衷就是在“微时代”到来之际,应对最新的公考实际和现代达人的紧张节奏。《数量考霸8堂课》分析了公务员考试的最新考点和历年考情,并在深入分析历年真题的基础上总结了行政职业能力测验的数量关系模块技巧,书中以学霸的学习实践现身说法,揭示备考盲点和要点。书中只讲重点而非面面俱到;凡言必考而非通篇罗列。

  目录

  目录

  目录

  第一堂★★★★初等数学1

  第二堂★★★★典型模型8

  第三堂★★奥数经典题型30

  第四堂★★★初等几何问题41

  第五堂★★★排列组合46

  第六堂★★容斥原理60

  第七堂★★★概率问题66

  第八堂★★极值问题75

  附录数量关系之超级速算法83

  一、直接代入法83

  二、倍数特性法92

  三、化归为一法107

  四、比例假设法119

  五、十字交叉法128

  六、极端思维法135

  目录

  数量考霸8堂课

  第一堂★★★★初等数学

  第一堂★★★★初等数学

  在公务员考试中,有些数学运算题目是我们初中所学过的最基本的模型,比如约数倍数、整除余数、周期等等,这些题目非常简单,属于必得分题目。要知道公务员考试中行政职业能力测验分数很难拉开很大的差距,如果想在笔试中领先,行测拿到75+的分数是很必要的。显然,初等数学的分数拿不到,这个愿望基本达不到。

  一、最大公约数与最小公倍数

  1.如果数a能被数b整除,a就叫做b的倍数,b就叫做a的约数。几个整数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。例如:4是12与16的最大公约数。(公约数最大,意味着商最小,常用来求至少类问题)

  2.几个自然数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数,其中最小的一个自然数,叫做这几个数的最小公倍数。例如:4和6的最小公倍数是12。(常用来计算最小周期类问题)

  3.约数与倍数常涉及整除的概念。因此我们需要记忆一些特殊数的整除判定方式:

  看末一位或末几位数字

  (1)能被2整除的数的特征:个位数字是0、2、4、6、8的整数,都能被2整除;

  (2)能被5整除的数的特征:个位数字是0或5的整数,都能被5整除;

  (3)能被22(52)整除的数的特征:一个整数的末两位能被22(52)整除,这个数就能被22(52)整除;

  (4)能被23(53)整除的数的特征:一个整数的末三位能被23(53)整除,这个数就能被23(53)整除。

  看各位数字的和

  能被3(9)整除的数的特征:如果一个整数的各位数字之和能被3(9)整除,则这个数就能被3(9)整除;反之,一个数能被3(9)整除,这个数各位数字之和就能被3(9)整除。

  看两部分数字之差

  能被11整除的数的特征:如果一个整数奇数位上的数字和与偶数位上的数字和的差能被11整除,这个数就能被11整除;反过来也成立。

  看两部分数字组成的数的差

  能被7、11、13整除的数的特征:这个数末三位与末三位之前的数字所组成的数之差(或反过来)能被7、11、13整除。

  性质

  (1)如果整数a、b都能被自然数c整除,那么a、b的和或差也能被c整除;

  (2)如果a能被b整除,那么a×c(c是整数)也能被b整除;

  (3)如果a能整除b,b能整除c,那么a能整除c;

  (4)如果b与c是互质数,并且a能同时被b、c整除,那么a能被b×c整除。

  【例题】六位数568 能被3、4、5整除,则最小的六位数是( )。答案:568020。提示:将568***暂时赋值为568000,除以3、4、5的最小公倍数60,将余数加上一个数即20,凑成余数基础上,60的最小公倍数即可。

  【例题】六位数1998 能被56整除,则这个数是( )。答案:319984。提示:将56化为7×8,根据“如果a能整除b,b能整除c,那么a能整除c”的原理,则未知的六位数既可以被7整除,也可以被8(也即23)整除。这个数同时具有能被7和23整除的数的性质。

  约数个数

  如果将一个数字进行质因数分解,把各个质因数的幂次数字分别加1,再相乘,得到的数字就是这个数字的约数的个数。

  【例1】某公司规定,门窗每3天擦拭一次,绿化植物每5天浇一次水,消防设施每2天检查一次。如果上述三项工作刚好集中在星期三都完成了,那么下一次三项工作集中在同一天完成是在()。

  A. 星期一B. 星期二C. 星期四D. 星期五

  【解析】 5、3、2的最小公倍数是30,也就是30天后三项工作同一天完成。30÷7=4…2,也就相当于从星期三顺次再数两天,星期三两天后是星期五,所以选D。

  【例2】对100个编号为1—100的罐子,第1个人在所有的编号为1的倍数的罐子中倒入1毫升水,第2个人在所有编号为2的倍数的罐子中倒入1毫升水……最后第100个人在所有编号为100的倍数的罐子中倒入1毫升水,问此时第92号罐子中装了多少毫升的水?()

  A. 2B. 6C. 46D. 92

  【解析】 92号罐子中有多少毫升水,取决于有多少人往里面倒水,也就是92有多少个约数。每有1个约数,便会有1个对应的人倒入1毫升水。运用约数个数的公式,我们将92写成22×231,所以约数个数为(2+1)×(1+1)=6个。所以92号罐子中装了6毫升的水。选B。

  【例3】有一种红砖,长24厘米,宽12厘米,高5厘米,至少用多少块红砖才能拼成一个实心的正方体?()

  A.600块B. 800块C. 1000块D. 1200块

  【解析】 实心的正方体,边长最好是砖各边的最小公倍数。24、12、5的最小公倍数是120。也就是最小的正方体边长是120,这时候长宽高对应砖的块数分别有5、10、24块。所以需要砖5×10×24=1200块。选D。

  二、余数及尾数判定

  1.余数问题口诀

  余同取余,和同加和,差同减差,公倍数作周期。

  (1)余同:“一个数除以4余1,除以5余1,除以6余1”,则取1,表示为60n+1;

  (2)和同:“一个数除以4余3,除以5余2,除以6余1”,则取7,表示为60n+7;

  (3)差同:“一个数除以4余1,除以5余2,除以6余3”,则取-3,表示为60n-3。

  选取的这个数加上除数的最小公倍数的任意整数倍(即例中的60n)都满足条件。

  2.乘方尾数口诀

  底数只保留个位,指数除以4留余数,余数为0则换成4。此时所得新数的尾数即为原数的尾数。

  比如20132013,指数2013除以4余数是1,31=3,所以20132013的尾数是3。

  解决尾数问题常用到以下结论:

  (1)两个正整数乘积的尾数等于它们尾数的乘积的尾数;

  (2)一个正整数的乘方的尾数常常是按一定规律循环出现。

  【例1】19991998的末位数字是()。

  A.1B.3C.7D.9

  【解析】 直接计算让人无从下手。这类问题的核心在于,整个数乘方的尾数与末位数乘方的尾数是相同的,即19991998的尾数与91998的尾数是完全相同的,而9的乘方尾数是9、1循环的,故我们只需判断1998次方是落在哪个循环节上,1998能被2整除,因此尾数一定为1,可知A是正确答案。

  这样做虽然快,但1—9这9个数的尾数循环是不同的,有的是1个一循环,有的是2个一循环,有的是4个一循环,若每次都先考虑尾数是几个一循环是非常麻烦的,而若强行记忆又容易出现错误。所以我们尝试寻求一个更好的方法。我们知道:

  1的乘方尾数是1、1、1、1循环;

  2的乘方尾数是2、4、8、6循环;

  3的乘方尾数是3、9、7、1循环;

  4的乘方尾数是4、6、4、6循环;

  5的乘方尾数是5、5、5、5循环;

  6的乘方尾数是6、6、6、6循环;

  7的乘方尾数是7、9、3、1循环;

  8的乘方尾数是8、4、2、6循环;

  9的乘方尾数是9、1、9、1循环;

  列表后容易发现,这9个数的乘方尾数都可以看做是4次一循环,这就大大降低了记忆难度,于是做这类乘方尾数问题,我们只需要求出其指数除以4的余数,余数是几,则代表落在哪个循环节上(注意:若余数为0,则代表能被4整除,则应落在第4循环节,即余数为0则看作4);同时一个数除以4的余数和这个数的末两位数除以4的余数是相同的。

  综上,我们给出一个口诀:“底数留个位;指数末两位除以4留余数(余数为0,则看做4)”。

  3.三位数书页问题换算公式

  三位数的页码是考试的重点:页码=共使用的数字÷3+36。

  ◆若一本书一共有N页(N为三位数),用了M个数字:

  从第1页到第9页,共9页,9个数字;

  从第10页到第99页,共90页,90×2=180个数字;

  从第100页到第N页,共有\[3×(N-100+1)\]个数字;

  依上可知:M=3×(N-100+1)+9+180,得到:N=M÷3+36。

  【例1】某生产车间有若干名工人,按每四个人一组分多一个人,按每五个人一组分也多一个,按每六个人一组分还是多一个,该车间至少有多少名工人?()

  A. 31B. 41C. 61D. 122

  【解析】 题目可以还原为余数问题:一个数除以4余1,除以5余1,除以6也余1。这样的数有无数多个,最小的数就是4、5、6的最小公倍数加1(余同取余)。4、5、6最小公倍数是60,所以至少有61名工人。选C。

  【例2】韩信故乡淮安民间流传着一则故事——“韩信点兵”。秦朝末年,楚汉相争。有一次,韩信率1500名将士与楚军交战,战后检点人数,他命将士3人一排,结果多出2名;命将士5人一排,结果多出3名;命将士7人一排,结果又多出2名,用兵如神的韩信立刻知道尚有将士人数。已知尚有将士人数是下列四个数字中的一个,则该数字是()。

  A. 868B. 998C. 1073D. 1298

  【解析】 本题也就是剩下的将士人数除以3余2,除以5余3,除以7余2,不同余、不同和,也不同差。这下怎么算呢?我们可以把选项一一代入,看哪一项满足条件。选C。

  【例3】在一本300页的书中,数字“6”在书的页码中出现了多少次?()

  A.40B.60C.80D.160

  【解析】 (思路1)一共300页的书,我们分情况来数。

  (6在个位)06、16、26、36、46、56、66、76、86、96,(6出现了11次);

  (6在个位)106、116、126、136、146、156、166、176、186、196(6出现了11次);

  (6在个位)206、216、226、236、246、256、266、276、286、296(6出现了11次);

  (6在十位)60、61、62、63、64、65、67、68、69,(66不再计算,出现9次);

  (6在十位)160、161、162、163、164、165、167、168、169,(166不再计算,出现9次);

  (6在十位)260、261、262、263、264、265、267、268、269,(266不再计算,出现9次);

  所以数字6一共出现11×3+9×3=60(次)。选B。

  (思路2)“6”不可能出现在百位上,我们分个位、十位两种情况进行讨论:

  如果“6”在个位上:十位可以取0—9,百位可以取0—2,共出现10×3=30(次);

  如果“6”在十位上:个位可以取0—9,百位可以取0—2,共出现10×3=30(次)。

  综上,“6”一共出现了30+30=60(次)。选B。

  三、裂项公式

  1.对于分母可以写成两个因数乘积形式的分数,即1a×b形式的,我们把较小的数写在前面,即a

  2.对于分母上为3个或4个连续自然数乘积形式的分数,则有

  1n(n+1)(n+2)=121n(n+1)-1(n+1)(n+2)

  1n(n+1)(n+2)(n+3)=131n(n+1)(n+2)-1(n+1)(n+2)(n+3)

  3.分数裂和公式

  a+ba×b=1b+1a;a2+b2a×b=ab+ba

  4.整数裂项公式

  1×2+2×3+3×4+…+(n-1)n=13(n-1)n(n+1)

  1×2×3+2×3×4+3×4×5+…+(n-2)(n-1)n=14(n-2)(n-1)n(n+1)

  这种题目在考试中一般很少遇到,知道这些公式就可以。

  四、方程

  公务员考试中常遇到的是一元一次方程、二元一次方程以及不等式,基本是常用的解题方法,很少遇到一元二次方程。很多考友费心备考一元二次方程,没有什么必要,考试中时间也有限,能全部做完题目的极少,遇到放弃也无妨。

  第二堂★★★★典型模型

  第二堂★★★★典型模型

  典型模型:行程问题

  在每年的公务员考试中,不论是国考还是省考,行程问题始终是最常见的数学运算题。这种题型复杂多变,但是常用公式就几条,属于必得分题目。

  一、知识点记忆

  1.行程问题核心公式:路程=速度×时间

  在行程问题里,如果路程、速度、时间三个变量只有一个出现了具体的大小,那么另外两个变量,我们可以假设其中一个为任意值。如果其中两个变量都出现了具体的大小,意味着第三个变量大小也就确定了。

  2.行程问题基本比例:S甲S乙=v甲v乙×t甲t乙

  若t相等,S与v成正比;v相等,S与t成正比;S相等,v与t成反比。

  3.直线相遇问题:相遇距离=(大速度+小速度)×相遇时间

  直线追及问题:追及距离=(大速度-小速度)×追及时间

  直线背离问题:背离距离=(大速度+小速度)×背离时间

  4.环形反向运动:第N次相遇路程和为N个周长,环形周长=(大速度+小速度)×相遇时间

  环形同向运动:第N次相遇路程差为N个周长,环形周长=(大速度-小速度)×相遇时间

  5.顺流路程=顺流速度×顺流时间=(船速+水速)×顺流时间

  逆流路程=逆流速度×逆流时间=(船速-水速)×逆流时间

  (涉及相对速度的,比如扶梯问题、队伍行进问题,本质上都是顺流逆流问题,注意相对速度与相对路程)

  6.等距离平均速度公式:V均=2v1v2v1+v2

  7.1米/秒=3.6千米/时

  其他还有些典型问题也有固定的公式,不过记忆比较麻烦,一般采取在例题中通过推导过程来理解记忆,那样即使没有记住公式,在考试时通过简单推导也能准确计算出答案。

  二、常考题型

  1.求解单一量

  主要是已经知道S、v、t三个量中的两个,或者知道比例关系,要求求出第三个量。这种题型主要围绕公式通过列方程来求解。

  【例1】甲地到乙地,步行比骑车速度慢75%,骑车比公交慢50%。如果一个人坐公交从甲地到乙地,再从乙地步行到甲地,共用1个半小时。问骑车从甲地到乙地多长时间?()

  A.10分钟B.20分钟

  C.30分钟D.40分钟

  【解析】 题目仅明确了时间,速度只给了比例关系,路程也未知,所以我们可以给速度赋予具体值。假设骑车速度是4,则步行是1,公交是8(这道题步行和公交都是和骑车发生联系,显然设中间量骑车更便于解题),依题意可得:S8+S1=90(注意量的转化,答案中的量是“分钟”,所以我们直接将1.5小时转化为90分钟,以免考场上速度过快最后忘记转化为分钟)。求得S=80。所以骑车从甲地到乙地需要80÷4=20(分钟)。选B。

  【例2】甲与乙同时从A地出发匀速跑向B地,跑完全程分别用了3小时和4小时,下午4时,甲正好位于乙和B地之间的中点上,问两人是下午什么时候出发的?()

  A.1点24分B.1点30分C.1点36分D.1点42分

  【解析】 这道题难点在于找到等量关系,如果仅从两人走过的路程来看,很难建立关系,所以我们不妨倒过来想,“甲正好位于乙和B地之间的中点上”,也就是甲到B地的路程是乙到B地路程的一半。这样我们就找到了等量关系。

  假设全程是12,已知t甲:t乙=3:4,所以v甲=4,v乙=3,令截至下午4时,两人走了x小时,则12-4x=12(12-3x),解得x=2.4时。所以两人应该是下午(4-2.4)时出发,1.6时=1时36分。选C。

  【例3】一个长146公里的山区公路分为上坡、平地和下坡三段,其中上下坡的距离相等。某越野车以上坡20公里每小时、平地30公里每小时、下坡50公里每小时的速度行驶,跑完该条公路正好用时5小时,问该山路中的平地路程为多少公里?()

  A. 40B. 55C. 66D. 75

  【解析】 显然,尽管这道题也是求解单一量,但与前面两道题不同的是,这道题的全程分为3段,每段的速度不同。

  根据题意设平地路程为x千米,由题意得到等式:146-x2×20+146x2×50+x30=5,解得x=66。因此山路中的平地路程为66千米。选C。

  2.直线相遇/追及问题

  有时候对题目中的关系不明确时,可以借助图表。解决行程问题的任何一种题型,寻找等量关系都是关键一步,核心公式就是距离、速度、时间三者的关系。追及问题一定要分清谁追及谁,不要搞混了大小速度。

  【例1】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发,相向而行,匀速前进。如果每人以一定的速度前进,4小时相遇;如果各自每小时比原计划少走1千米,5小时相遇。则A、B两地的距离是()。

  A. 40千米B. 20千米

  C. 30千米D. 10千米

  【解析】 典型的相遇问题。相遇距离=(大速度+小速度)×相遇时间,我们不妨设他们的速度和为x,4小时可以相遇,则距离为4x;各自每小时少走1千米,则速度和为(x-2),5小时相遇,距离为5(x-2);两地距离相等,所以我们可以得出等量关系:4x=5(x-2),解得x=10,所以距离为40千米,选A。

  【例2】为了保持赛道清洁,每隔10分钟会有一辆清扫车从起点出发,匀速清扫赛道。甲、乙两名车手分别驾驶电动车和自行车考察赛道,甲每隔5分钟追上一辆清扫车,每隔20分钟有一辆清扫车追上乙,问甲的速度是乙的多少倍?()

  A. 3B. 4C. 5D. 6

  【解析】 看上去好复杂的题目。不过仔细剥离题目情景,发现这其实是两个追及问题的合体。我们假设甲的速度是v甲,乙的速度是v乙,清扫车的速度是v车:

  单独看甲,每隔5分钟追上1辆清扫车,显然是追及问题,追及距离是10v车,时间是5分钟,所以得出等式:(v甲-v车)×5=10v车,得出v甲=3v车;

  单独看乙,每隔20分钟有一辆清扫车追上乙,追及距离同样是10v车,时间是20分钟,不同的是乙的速度显然要小于清扫车的速度,所以得出等式:(v车-v乙)×20=10v车,得出v乙=12v车;

  所以甲的速度是乙的3÷12=6(倍)。选D。

  【例3】甲、乙两地相距20千米,小李、小张两人分别步行和骑车,同时从甲地出发沿同一路线前往乙地,小李速度为4.5千米/小时,小张速度为27千米/小时。出发半小时后,小张返回甲地取东西,并在甲地停留半小时后再次出发前往乙地。问小张追上小李时,两人距离乙地多少千米?()

  A.8.1B.9C.11D.11.9

  【解析】 以前会做的题总做错,现在想出避免做错的方法,就是逐个明确题目的数量关系,不再眉毛胡子一把抓,正确率提高很多。比如拿这道题来说,最后说小张追上小李时,两人距乙地多少千米,显然是追及问题。首先明确追及速度,v李=4.5千米/小时,v张=27千米/小时;追及距离:出发半小时、返回也需要半小时、又停留半小时,一共1.5小时,这1.5小时小李走了(4.5×1.5)千米,所以追及时间为4.5×1.527-4.5=0.3(小时),追上时,小张走了27×0.3=8.1(千米),小李显然也是这些。所以距离乙地20-8.1=11.9(千米),选D。

  这道题关键就是捋清楚追及距离,记得很多人做题时忽略了小张回去甲地也需要半小时时间,花的时间远远超过1分钟却得不出答案。所以,数学运算关键是思路一定要清晰,一步一步地计算。

  3.环形运动型

  环形运动和直线运动类似,可以借助图形来理解,解题的关键一般是距离和或差与环形周长的关系,抓住这点列出等式,解题还是很简单的。

  【例1】一个正六边形跑道,每边长为100米,甲乙两人分别从两个相对的顶点同时出发,沿跑道匀速相向而行。第一次相遇时甲比乙多跑了60米,问甲跑完三圈时,两人之间的直线距离是多少?()

  A.100米B.150米

  C.200米D.300米

  【解析】

  通过画图我们知道,第一次相遇,S甲+S乙=100×3;S甲-S乙=60。所以S甲=180米;S乙=120米。前面我们讲过比例关系,当时间一定时,路程与速度成正比,所以v甲v乙=S甲S乙=32。

  所以,当甲跑完3圈时,乙恰好跑完2圈,两人依然处于两个相对的顶点位置,所以直线距离是100+100=200(米)。(正六边形每个对角连线可以将正六边形分割成6个正三角形)

  【例2】甲、乙两人从运动场同一起点同时同向出发,甲跑的速度为200米/分钟,乙步行,当甲第5次超越乙时,乙正好走完第三圈,再过1分钟时,甲在乙前方多少米?()

  A. 105B. 115C. 120D. 125

  【解析】 这道题很有意思,题干给出的信息不多,但是经过推导可以轻松得出答案。

  首先,两人同向而行,环形运动同向相遇,我们知道每相遇一次,两人路程差便是一个周长。所以第五次相遇时,S甲-S乙=5c(c为跑道周长),乙正好走完第三圈,所以S甲=5c+3c=8c。

  其次,两人运动时间相同,当时间相同时,速度与距离成正比,所以v甲v乙=S甲S乙=8c3c=83,已知v甲=200米/分钟,所以v乙=75米/分钟。

  最后,甲第五次超越乙,两人处于同一位置,1分钟后,甲在乙前方的距离:(v甲-v乙)×1=200-75=125(米)。选D。

  4.流水行船问题

  流水行船只是个模型,主要是速度和差问题,只要我们仔细分辨速度是求和还是求差,就能转化成基本行程问题,相关的还有电梯问题、队伍行进问题等,思路是一样的。

  比如电梯问题,扶梯总长一般被描述成“露在外面的扶梯阶数”,如果是顺行,扶梯总长=人走的梯长+扶梯走的梯长=人走的梯长×(1+v梯v人),这个公式其实就是前面公式的变形,因为人走的时间与梯走的时间相同,所以:人走的梯长×v梯v人=v人×t×v梯v人=v梯×t=梯走的梯长。

  【例1】一艘货船,第一次顺流航行420千米,逆流航行80千米,共用11小时;第二次用同样的时间顺流航行了240千米,逆流航行了140千米。问水流速度是多少千米/小时?()

  A.12B.16C.20D.24

  【解析】 因为两种路程时间相同,我们把顺流速度设为x,逆流速度设为y,能得到:

  420x+80y=11

  240x+140y=11,解出x=60,y=20。顺水速度=船速+水速;逆水速度=船速-水速,我们把两个式子相减,得出:水流速度=12(顺水速度-逆水速度)=20。选C。

  当然,这道题也可以分别设出船速和水速,然后再列出方程组,但解析起来不如上面的这种方式更加快捷。

  【例2】某商场在一楼和二楼间安装了自动扶梯,该扶梯以均匀的速度向上行驶。一个男孩与一个女孩同时从自动扶梯走到二楼(扶梯本身也在行驶),假设男孩与女孩都做匀速运动,且男孩每分钟走动的级数是女孩的两倍,已知男孩走了27级达到扶梯顶部,而女孩走了18级到达扶梯顶部(设男孩、女孩每次只跨一级),则扶梯露在外面的部分共有()级。

  A.54B.64C.81D.108

  【解析】 我们假设女孩每分钟走a级,扶梯每分钟走b级,则男孩走2a级。

  不论男孩还是女孩,扶梯总长都等于人走的级数与扶梯走的级数的和。所以:

  扶梯长=27+272a×b=18+18a×b,解得:ba =2,所以扶梯长=27+272a×b=54。选A。

  注意:我们需要求的只是扶梯长,所以不必解出a和b分别为多少,而且这道题也解不出来。解题时要时刻牢记自己要达到的目标。

  【例3】一列队伍沿直线匀速前进,某时刻一传令兵从队尾出发,匀速向队首前进传送命令,他到达队首后马上原速返回,当他返回队尾时,队伍行进的距离正好与整列队伍的长度相等。问传令兵从出发到最后到达队尾行走的整个路程是队伍长度的多少倍?()

  A. 1.5B. 2C. 1+2D. 1+3

  【解析】 这道题看上去比较复杂,但我们抓住队伍行进时间与传令兵行进时间相同这个等量关系就可以。

  假设传令兵速度为v兵,队伍行进速度为v队,队伍全长为S,根据时间相等,可以得出:

  Sv兵+v队+Sv兵-v队=Sv队,解得:v兵=(1+2)v队。

  因为传令兵从队尾到队首,再从队头到队尾所用的时间与队伍行进时间相同,而队伍行进的距离是S,所以传令兵行进的距离是1+2S,是队伍行进距离的(1+2)倍。选C。

  5.多次相遇型

  (1)左右点出发:第N次迎面相遇,路程和=全程×(2N-1);第N次追上相遇,路程差=全程×(2N-1)。

  (2)同一点出发:第N次迎面相遇,路程和=全程×2N;第N次追上相遇,路程差=全程×2N。

  (3)单岸型两次相遇距离公式:S=3S1+S22;两岸型两次相遇距离公式:S=3S1-S2(其中S表示两岸的距离,S1、S2表示相遇时距离某端点的距离)。单岸指的是题目的数据针对的同一个端点,两岸指的是数据分别针对两端的端点。

  上面的公式死记硬背很容易记混,所以一般采取在考试中画简图来使题目中的关系形象化,上面公式中的几种关系也就一目了然。

  【例1】A大学的小李和B大学的小孙分别从自己学校同时出发,不断往返于A、B两校之间。现已知小李的速度为85米/分钟,小孙的速度为105米/分钟,且经过12分钟后两人第二次相遇。问A、B两校相距多少米?()

  A.1140B.980C.840D.760

  【解析】 我们如果没有记住左右点出发迎面相遇的公式,通过简图也能清晰地看出来,第二次相遇时,两个人的路程和正好是3个全程。所以A、B之间的距离=13(v李+v孙)×t=13×(85+105)×12=760(米)。选D。

  再次强调,如果公式拿不准,考场上不要直接下笔套用拿不准的公式,通过画图等明确关系是不错的选择。

  【例2】甲、乙两人在环湖小路上匀速行驶,且绕行方向不变,19时,甲从A点,乙从B点同时出发相向而行,19时25分,两人相遇;19时45分,甲到达B点;20点5分,两人再次相遇。乙环湖一周需要多长时间?()

  A.72分钟B.81分钟C.90分钟D.100分钟

  【解析】 这是一道很有意思的题,初看很难,实际上非常简单,首先我们把时间转化成具体运动的时间t,第一次相遇,用了25分钟;甲到达B点,又用了20分钟;又过了20分钟,两个人第二次相遇。为了方便理解,我们只标出甲运行的时间路线图。如图:

  求乙环湖一周所用的时间,首先由B逆时针到C,乙运行时间与甲相同,为25+20+20=65(分钟),所以我们只需要知道由C逆时针到B这段路乙需要运行的时间。甲在这段路程运行了20分钟。从题干可知,第一次相遇时,乙运行了25分钟,而甲用了20分钟就由相遇地点到达了B点,也就是乙的出发点。同样的路程,甲用20分钟,乙用25分钟。我们看由C逆时针到B,甲也用了20分钟,所以这段路乙需要25分钟。因此,乙环湖一周需要65+25=90(分钟)。选C。

  画出图来,一目了然,几乎不需要计算,口算就能得出答案,这就是简图的妙用。

  【例3】甲、乙两车同时从A、B两地相向而行,在距A地80千米处相遇,相遇后两车继续前进,甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回,第二次在距A地60千米处相遇。则A、B两地间相距()。

  A. 130千米B. 150千米

  C. 180千米D. 200千米

  【解析】 如图:

  第一次相遇,S甲+S乙=SAB;第二次相遇,S甲+S乙=3·SAB;因为速度不变,所以第二次相遇的时间t2=3·t1,第一次相遇时甲走了80千米,所以第二次相遇甲走了80×3=240千米。从图示可以看出,第二次相遇时甲差60米正好走完两个全程,所以A、B两地之间的距离SAB=240+602=150(千米)。选B。

  如果记忆比较牢或对题型比较熟悉,本题显然数据都针对A点,属于单岸型,我们直接应用单岸型公式:S=3S1+S22=3×80+602=150(千米)。

  公式推导:设第一次相遇地点距离A地S1,第二次相遇地点距离A地S2,则:

  v甲v乙=S1S-S1=2S-S2S+S2?S=3S1+S22

  如果题目给出的不是两次相遇,而是三次或四次,记住就不能用这个公式了,最好是通过图示来分析距离之间的关系。单岸或两岸公式的适用范围仅限于两次相遇,这点要切记!

  6.其他题型

  (1)一般来说,设每隔t1分钟就遇到迎面开来的一辆公共汽车,每隔t2分钟就有辆公共汽车从后面超过该人,有方程组:

  S=(v车+v人)×t1

  S=(v车-v人)×t2

  ?v车=St1+St2+2

  v人=St1-St2+2?T=Sv车=2t1t2t1+t2

  N=v车v人=t2+t1t2-t1

  (其中S表示发车间距,T为发车间隔时间,v车为车速, v人为人速,N为车速和人速的比)

  【例】某人沿公交路线匀速行走,每9分钟有一辆公交车从后面追上来,每3分钟有一辆公交车从前面迎面开来,假设公交车起点发车间隔一样,并且公交车匀速行驶,发车间隔多少分钟?()

  A.3分钟B.4.5分钟

  C.6分钟D.9分钟

  【解析】 实际上是追及问题与相遇问题的合体,可以先设出人的速度和车的速度,最后可以消掉,得到一个只关于时间t的关系式。追及的路程或相遇时的人车路程和等于两车之间的距离。发车间隔T=2t1t2t1+t2=2×9×39+3=4.5(分钟)。选B。

  提示:公式在备考时一定要自己推导一次,才能真正理解记忆。

  (2)漂流所需时间=2t逆t顺t逆-t顺(其中t顺和t逆分别代表船顺流所需时间和逆流所需时间)。

  【例】一条船从甲地到乙地要航行4小时,从乙地到甲地要航行5小时(假定船自身的速度保持不变),今有一木筏从甲地漂流到乙地所需小时数为()。

  A.12B.40C.32D.30

  【解析】 直接应用公式可以得出T=2t逆t顺t逆-t顺=2×4×55-4=40(小时)。选B。

  典型模型:工程问题

  一、知识点记忆

  工程问题在考试中也很常见,主要研究工作量与工作效率、工作时间之间的关系。核心公式是工作量=工作效率×工作时间。

  工程问题相较行程问题来说,变化相对较少,多是基本工程问题或者两人、三人合作型,再复杂点的,可以设置两项工程或三项工程,解题的关键是工作效率。只要抓住工作效率这个核心,工程问题就能迎刃而解。

  在考试中,多数情况下工作总量是不明确的,这时候我们可以假设一个总量,使得效率和时间也具体化,常用的是设1法和设最小公倍数法。设1法就是把总量看作1个单位,根据时间得出效率,缺点是容易出现分数的计算;设最小公倍数法因为都是整数计算,所以是我们在解题中最常用的方法,此外,列方程也很常见。

  二、常考题型

  1.基本工程问题

  【例1】一条隧道,甲单独挖要20天完成,乙单独挖要10天完成。如果甲先挖1天,然后乙接替甲挖1天,再由甲接替乙挖1天……两人如此交替工作,挖完这条隧道共用多少天?()

  A.14B.16C.15D.13

  【解析】 第一步,我们设这条隧道的总工程量是100,则甲每天的效率是10020=5,乙的效率是10010=10。

  第二步,将甲乙各工作一天看作一个周期,则一个周期是两天,工作量是5+10=15,15×6=90,经过了6个周期,也就是12天后还剩下10个工作量。

  第三步,将剩下的工作量按题目要求分配,甲的效率是5,一天挖不完,所以还剩下5个工作量乙做,需要2天。所以一共需要14天完成。选A。

  【例2】某项工程由A、B、C三个工程队负责施工,他们将工程总量等额分成了三份同时开始施工。当A队完成了自己任务的90%时,B队完成了自己任务的一半,C队完成了B队已完成任务量的80%,此时A队派出2/3的人力加入C队工作。问A队和C队都完成任务时,B队完成了其自身任务的()。

  A.80%B.90%C.60%D.100%

  【解析】 抓住工作效率之间的关系,我们假设总量是300,将工程总量等额划分,则每份都是100,所以A完成90,B完成50,C完成50×80%=40。

  A抽调2/3的人力加入C队工作,此时A的效率变为90×(1-23)=30,C的效率变为:40+90×23=100。求A和C都完成任务时,B队的工作量,我们需要求出A和C完成任务还需要的时间:

  A:(100-90)30=13,C:100-40100=35,因为13<35,所以B队工作35,35×50=30。所以B一共做了自身任务的50+30100×100%=80%。所以选择A。

  2.多任务合作型

  【例1】某市有甲、乙、丙三个工程队,工作效率比为3∶4∶5。甲队单独完成A工程需要25天,丙队单独完成B工程需要9天。现由甲队负责B工程,乙队负责A工程,而丙队先帮甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工,则丙队要帮助乙队工作多少天?()

  A. 6B. 7C. 8D. 9

  【解析】 假设甲、乙、丙三个工程队的工作效率就是3、4、5,则A工程总量25×3=75,B工程总量5×9=45。两项工程都完成,三队需要做(75+45)÷(3+4+5)=10(天)。

  丙队要帮乙队做的天数是(75-4×10)÷5=7(天),选B。

  【例2】同时打开游泳池的A、B两个进水管,加满水需1小时30分钟,且A管比B管多进水180立方米。若单独打开A管,加满水需2小时40分钟。则B管每分钟进水多少立方米?()

  A. 6B. 7C. 8D. 9

  【解析】 这道题因为时间不是比例关系,是一个具体值,而且A、B进水差也是具体值,所以不适合赋值法。我们假设B每分钟进水x立方米,则根据A管比B管多进水180立方米,可以得出A每分钟进水x+18090=x+2(立方米)。根据两次注水得出方程:(x+x+2)×90=(x+2)×160,解得x=7。选B。

  本题注意单位的统一,将小时统一化为分钟。

  【例3】某车间三个班组共同承担一批加工任务,每个班组要加工100套产品。因为加工速度有差异,一班组完成任务时二班组还差5套产品没完成,三班组还差10套产品没完成。假设三个班组加工速度都不变,那么二班组完成任务时,三班组还剩()套产品未完成。

  A. 5B. 8019C. 9019D. 10019

  【解析】 一班组完成100套时,二班组、三班组分别完成95套、90套,可以假设他们的效率分别为100、95、90。那么二班组完成任务还需要5÷95=119(天),这段时间三班组还能完成90×119=9019(套),还剩余100-90-9019=10019(套),选择D。

  典型模型:溶液问题

  一、知识点记忆

  1.溶液=溶质+溶剂;

  2.浓度=溶质÷溶液;

  3.溶质=溶液×浓度;

  4.溶液=溶质÷浓度;

  5.溶液倒出比例为a的溶液,再加入相同的溶剂,则浓度变成原来的(1-a);

  6.溶液加入比例为a的溶剂,再倒出相同的溶液,则浓度变成原来的11+a。

  7.饱和溶液:指的是在一定温度下,一定剂量的溶剂里面,不能继续溶解溶质,也就意味着溶液的浓度不变,从上面的表述来看,饱和溶液,必须是在特定的温度和一定的剂量,针对的是同一物质。

  8.溶解度:在一定温度下,某固态物质在100g溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量,叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度。

  这两个概念非常重要,当题目中出现“饱和溶液”或者“溶解度”等概念时,一定要判断是不是处于饱和状态,饱和状态下浓度不变。

  溶液问题,解题的重点是抓溶质,方法是列方程。

  十字交叉法也是常用的方法,当然,十字交叉法不限于溶液问题,只要符合Aa+Bb=(A+B)r形式的方程,都可以写成AB=r-ba-r的形式。我们常说的十字交叉法实际上是十字交叉相比法,它是一种图示方法,特别适合于两总量、两关系的混合物的计算,用来计算混合物中两种组成成分的比值。十字交叉法图示:

  Aa+Bb=(A+B)r

  rA:bB:ar-ba-r

  注意:写在图示左边的是每个分量以及分量的平均数;写在中间的r是总平均数;写在右边的是总平均数与分平均数的差,注意减的顺序,如果一个是r-b,则另一个是a-r,如果一个是b-r,则另一个要变成r-a,也就是r的符号是相反的。通过十字交叉法可以达到秒杀题目的效果,下面通过例题来学习如何运用这种方法。

  二、常考题型

  1.基本计算型

  【例1】甲容器有浓度为3%的盐水190克,乙容器中有浓度为9%的盐水若干克,从乙容器中取出210克盐水倒入甲容器中,则甲容器中盐水的浓度是多少?()

  A.5.45%B.6.15%

  C.7.35%D.5.95%

  【解析】 第一步,求出混合后的溶质。甲原有溶质190×3%=5.7(克),从乙容器倒入溶质210×9%=18.9(克),共有溶质5.7+18.9=24.6(克)。

  第二步,求出混合后的溶液。190+210=400(克)。

  第三步,得出浓度:溶质溶液=24.6400×100%=6.15%,选B。

  这道题我们观察也可以选出答案,如果倒入乙溶液190克,显然甲容器的浓度变为原来两种浓度的平均数6%,而现在浓度大的乙溶液略多于190克,所以甲容器的浓度略大于6%。在时间很紧张的情况下会选择这种方法来提高蒙的准确性。

  【例2】在某状态下,将28g某种溶质放入99g水中恰好配成饱和溶液,从中取出14溶液加入4g溶质和11g水,请问此时浓度变为多少?()

  A. 21.61%B. 22.05%

  C. 23.53%D. 24.15%

  【解析】 第一步,判断饱和度。99克水溶入28克溶质可以配成饱和溶液,也就是11克水可以溶解289克溶质。

  第二步,加入4g溶质和11克水,因为11克水只能溶解289克溶质,所以溶液依然是饱和状态。

  第三步,求饱和状态下溶液的浓度,也就是原溶液的浓度,2828+99≈22.05%,选B。

  2.十字交叉法

  【例】有100克溶液,第一次加入20克水,溶液的浓度变成50%;第二次再加入80克浓度为40%的同种溶液,则溶液的浓度变为多少?()

  A. 45%B. 47%

  C. 48%D. 46%

  【解析】 设浓度为x,则满足等式120×50%+80×40%=(120+80)x,适用十字交叉法。

  12080=x-40%50%-x,解得x=46%。选D。

  要注意溶液的计算,溶液=溶质+溶剂。

  3.混合稀释型

  【例】杯中原有浓度为18%的盐水溶液100ml,重复以下操作2次,加入100ml水,充分配合后,倒出100ml溶液,问杯中盐水溶液的浓度变成了多少?()

  A. 9%B. 7.5%

  C. 4.5%D. 3.6%

  【解析】 第一次操作后浓度:100×18%200=9%;

  第二次操作后浓度:100×9%200=4.5%,选C。

  有两个重要的结论需要记忆:

  设溶液质量为m,每次倒出溶液为m0,再添入m0清水补满,重复n次,浓度为(m-m0m)n·C0;

  设溶液质量为m,每次先倒入清水m0,再倒出溶液m0,重复n次,浓度为(mm+m0)n·C0。

  C0是原来溶液的浓度。

  4.抽象比例型

  抽象比例型一般采用赋值法使题目具体化。

  【例】一种溶液,蒸发掉一定量的水后,溶液的浓度为10%;再蒸发掉同样多的水后,溶液的浓度变为12%;第三次蒸发掉同样多的水后,溶液的浓度将变为多少?()

  A. 14%B. 17%

  C. 16%D. 15%

  【解析】 本题关键是溶质不变,设第一次后有溶液100,溶质10,再蒸发掉同样多的水后,溶液为10÷12%=2503,则蒸发了100-2503=503,第三次蒸发掉同样多的水后,溶液为2503-503=2003,则溶液的浓度为10÷2003=15%。选D。

  典型模型:费用问题

  一、知识点记忆

  费用问题多涉及成本、售价、利润等之间的关系及其变化情况,方程法是解决费用问题的主要方法。

  核心公式:①售价=成本+利润;利润=售价-成本,

  ②利润率=利润÷成本=(售价-成本)÷成本=售价÷成本-1,

  ③成本=售价÷(1+利润率)

  折扣:折扣是商品购销中的让利,是卖方给买方的价格优惠。比如打九折,表示现价是原价的90%。

  二、常考题型

  1.普通费用型

  情境特点:售价、成本、利润之间的某种等量关系。

  思路提示:方程法。在费用问题中,题目通常会明确地给出几个量之间的关系,通过这些关系可以迅速得到方程。特别是在某些问题中,会出现“相等”“比……多(少)”“高出(少于)”等词,出现这些词的条件往往是列方程的依据。

  【例】老王两年前投资的一套艺术品市价上涨了50%,为尽快出手,老王将该艺术品按市价的八折出售,扣除成交价5%的交易费用后,发现与买进时相比赚了7万元。问老王买进该艺术品花了多少万元?()

  A. 84B. 42C. 100D. 50

  【解析】 假定进价是100份,则:

  进价利润定价

  八折后

  交易费

  实际售价

  100

  50

  150

  120

  6

  114

  即最终的净利润为14份,14份相当于是7万元,所以100份相当于是50万元。选D。

  2.比例型费用型

  情境特点:仅与比例相关的费用问题。

  思路提示:赋值法。题目仅涉及两个或几个量之间的比例,给其中一个赋值,于是其他的量均可以得到合适的值,从而快速得解。

  比例型费用问题涉及比例,问题抽象度增加,难度较高,所以要通过赋值法,化抽象为具体,快速解题。

  【例1】受原材料涨价影响,某产品的总成本比之前上涨了115,而原材料成本在总成本中的比重提高了2.5个百分点。问原材料的价格上涨了多少?()

  A. 19B. 110C. 111D. 112

  【解析】 设初始原材料的价格为x,上涨之前的总成本为15,原材料价格上涨了1,则上涨之后的原材料价格为:x+1,上涨之后的总成本为:15×(1+115)=16。根据题意有:(1+x)÷16-x÷15=2.5%,解得x=9。故原材料的价格上涨了1÷9=19,选A。

  【例2】一商品的进价比上月低了5%,但超市仍按上月售价销售,其利润率提高了6个百分点,则超市上月销售该商品的利润率为()。

  A. 12%B. 13%C. 14%D. 15%

  【解析】 设上月的进价为a,其利润率为x,则a(1+x)-a(1-5%)a(1-5%)=x+6%,解得:x=14%。选C。

  3.前后变化型

  情境特点:原定某种销售计划,中途出现变更,导致前后数值有变化。

  思路提示:差额分析法。分别找出变化前后的情形及其差异,分析其中出现差异的原因,从而快速得解。

  前后变化型费用问题侧重考查变动过程,特别是成本、利润、售价三者在变动过程中相互影响的关系。未来的命题趋势仍是侧重对两个经济过程并存与变动这两个方面的考查。

  【例1】某商店花10000元进了一批商品,按期望获得相当于进价25%的利润来定价,结果只销售了商品总量的30%。为尽快完成资金周转,商店决定打折销售,这样卖完全部商品后,亏本1000元。问商店是按定价打几折销售的?()

  A. 九折B. 七五折C. 六折D. 四八折

  【解析】 设商店是按定价打x折销售的,则10000×30%×(1+25%)+10000×(1-30%)×(1+25%)x10=10000-1000,解得x=6,选C。

  【例2】某种汉堡包每个成本4.5元,售价10.5元,当天卖不完的汉堡包即不再出售。在过去十天里,餐厅每天都会准备200个汉堡包,其中有六天正好卖完,四天各剩余25个。问这十天该餐厅卖汉堡包共赚了多少元?()

  A. 10850B. 10950C. 11050D. 11350

  【解析】 总成本为4.5×200×10=9000(元),总售价为10.5×200×6+10.5×175×4=19950(元),故总利润为19950-9000=10950(元)。选B。

  4.统筹核算型

  情境特点:对某个购买目标,有多家供应商可选,求最节省的购买方案。

  思路提示:找到每一项的平均价钱最低者。在有优惠措施时,若总数能恰好被组内个数整除时,则该平均价钱最低者即为所求方案;若不能恰好被整除,则多余部分需选择单价最低者。特别需要注意,题目通常并不要求一类物品只能在一家购买。

  【例】某公司要买100本便笺纸和100支胶棒。附近有两家超市,A超市的便笺纸0.8元一本,胶棒2元一支且买2送1;B超市的便笺纸1元一本且买3送1,胶棒1.5元一支。如果公司采购员要在这两家超市买这些物品,则他至少要花多少元钱?()

  A. 208.5B. 183.5C. 225D. 230

  【解析】 A超市胶棒价格等价于每支2×23=43(元),B超市便笺纸价格等价于每本1×34=0.75(元),因此A超市胶棒便宜,B超市便笺纸便宜。因为100是4的倍数,因此到B超市买100本便笺纸最便宜,此时费用为100×0.75=75(元);100不是3的倍数,100=3×33+1,因此到A超市买99支胶棒再到B超市买一支胶棒,花费最少,此时费用为:99×43+1.5×1=133.5(元)。总的费用为75+133.5=208.5(元)。选A。

  第三堂★★奥数经典题型

  第三堂★★奥数经典题型

  公务员考试中数学运算引用了不少奥数经典题型,每次考试都能遇到几道。熟悉奥数题型思路,显然对解题速度是有很大帮助和提高的。

  一、牛吃草问题

  牛吃草问题又叫牛顿牧场或消长问题。

  情景特点:某量以一定速度均匀增长,同时又以另一速度被均匀消耗。

  思路提示:直接套用牛吃草问题公式,得到一次方程组,快速求解即可。

  牛吃草问题的通用公式为:

  草场原有草量=(所有牛每天吃草量-草场每天长草量)×天数

  在实际做题中,我们一般会默认“每头牛每天吃草的量”为“1”,从而得到更简便直观的牛吃草问题公式:

  草场原有草量=(牛数-每天长草量)×天数

  一般在解题的时候,并不会直接去套用公式求解原有草量,而是通过时间差来先求每天新长的草量,进而再算出原有草量。这个思路还是很简单实用的,比如:

  牧场上长满牧草,草每天匀速生长,这片牧场可供10头牛吃20天,可供15头牛吃10天,问可供25头牛吃几天?

  第一步,计算牧草每天生长量。设每头牛每天的吃草量是1,10头牛20天的吃草量:10×20=200,15头牛10天的吃草量:15×10=150。所以每天的新生草量=(250-150)÷(20-10)=5。(一定是时间长的减去时间短的)

  第二步,求出原有草量:200-5×20=100。

  第三步,可以设想25头牛中有5头牛专门吃新生的草,其他的牛吃原有的草。全部牧场的草可以吃的天数=100÷(25-5)=5(天)。

  这个步骤老师在讲课的过程中多次强调,基本无须记忆公式,确实是个好方法。

  怎么判断是不是牛吃草呢?典型的特征是有一个原有存量,然后有两个匀速变量(消量和增量)。牛吃草问题模型可以套用到漏船排水、窗口排队等情境中,做题时公式中所设的量和单位都要与题目的情境相对应。

  【例1】某河段中的沉积河沙可供80人连续开采6个月或60人连续开采10个月。如果要保证该河段河沙不被开采枯竭,问最多可供多少人进行连续不间断的开采?(假定该河段河沙沉积的速度相对稳定)()

  A. 25B. 30

  C. 35D. 40

  【解析】 由核心公式计算,设原有河沙量为y,每月新增河沙量为x,可得方程:y=(80-x)×6

  y=(60-x)×10;解得x=30

  y=300。即最多可供30人进行连续不间断的开采。选B。

  【例2】有一个水池,池底不断有泉水涌出,且每小时涌出的水量相同。现要把水池里的水抽干,若用5台抽水机40小时可以抽完,若用10台抽水机15小时可以抽完。现在用14台抽水机,多少小时可以把水抽完?()

  A. 10小时B. 9小时

  C. 8小时D. 7小时

  【解析】 设原有水量为y,每小时涌出水量为x,根据题意:“5台抽水机40小时,10台抽水机15小时”得,y=(5-x)×40

  y=(10-x)×15,解得y=120

  x=2。现有14台抽水机,设所需时间为T,则120=(14-2)×T,解得T=10。选A。

  【例3】格尔牧场长满青草,而且牧草每天都在均匀地生长着。12头牛4周可以吃光10/3格尔的牧草;21头牛9周可以吃光10格尔的牧草。24格尔的牧草可以供多少头牛吃18周?()

  A.36B. 42

  C.44D.48

  【解析】 这道题与前面两道不同,因为题目前后三次提到的牧场面积不相等,因此第一步就是把面积统一。

  第一步,转化题干:

  12头牛4周可以吃光10/3格尔的牧草,转化为:432头牛4周可以吃光120格尔的牧草;

  21头牛9周可以吃光10格尔的牧草,转化为:252头牛9周可以吃光120格尔的牧草;

  24格尔的牧草可以供多少头牛吃18周?转化为:120格尔的牧草可以供多少头牛吃18周?

  注意:取面积的公倍数,然后牛的头数随着面积同时扩大,但是周数不要变,这是牛吃草问题的关键所在。

  第二步,先算出120格尔牧草每周新长的草:(252×9-432×4)÷(9-4)=108。

  第三步,算出120格尔牧草原有的草量:(252-108)×9=1296。

  第四步,算出可供多少头牛吃18周:1296÷18+108=180。

  第五步,把120格尔缩小五倍至24格尔,牛数也同时缩小:180÷5=36(头)。选A。

  二、过河爬井问题

  爬井问题的关键在于向上爬一段距离后会滑落一段距离。其一般情境为:一只青蛙要爬出一口深A米的水井,白天可以向上爬B米,晚上会滑落C米,问这只青蛙需要多久能爬出井口。解题公式为:所爬天数≥A-CB-C,取整数。

  为什么这么算?其实,每天爬几米不是关键,因为最关键的是每天能爬的最高点,只要最高点高过井口,就可以出来了。

  第一天,最高点是B米;

  第二天,因为第一天晚上下降了C米,所以最高点是(B-C)+B;

  第三天,因为第二天晚上下降了C米,所以最高点是(B-C)+(B-C)+B;

  第四天,因为第三天晚上下降了C米,所以最高点是(B-C)+(B-C)+(B-C)+B;

  依次类推,第n天最高点是(n-1)(B-C)+B,只要这个最高点大于等于井深,就可以爬出来,所以(n-1)(B-C)+B≥A,化简后得n≥A-BB-C+1,进一步通分即n≥A-CB-C。n取整数。

  过河问题原理与爬井问题一致,其一般情境为:有A个人需要过河,每次能过B个人,需要C个人划船,问多少次能让所有人都过河。解题公式为:过河次数≥A-CB-C,取整数。

  在考试中,不一定要求我们求多少次爬出来或多少次能过河,还有的题目要我们算出第n次过河时过河的总人数。这时候爬井问题的解题思路就起作用了,第n次过河时过河的总人数为(n-1)(B-C)+B。

  【例1】有37名红军战士渡河,现仅有一只小船,每次只能载5人,需要几次才能渡完?()

  A. 7次B. 8次

  C. 9次D. 10次

  【解析】 本题属于过河问题,每次过河都需要一名战士把船划回来,直接使用前面所讲的计算公式:过河次数≥37-15-1=9(次),答案为C选项。

  那第三次过河的总人数呢?(3-1)×(5-1)+5=13(人)。

  另外,不要忘记,船是要人划回来的。需要1个人划船,这种条件在题目中往往会省略,以前总是算错,要吸取教训。

  【例2】一只青蛙掉入18米深的井中,它白天往上爬5米,晚上往下掉2米,问这只青蛙需要多少天才能爬出来?()

  A. 5B. 6

  C. 7D. 8

  【解析】 本题属于爬井问题,直接使用上面所讲的计算公式:所爬天数≥18-25-2=163,取整数,因此这只青蛙需要6天才能爬出来,选B。

  三、比赛问题

  根据比赛规则,比赛问题主要分为淘汰赛和循环赛,每类比赛都有对应的解题方法。

  循环赛:N支队伍进行循环赛,每支队伍和其他任意队伍进行一场比赛,所以每支队伍需要进行N-1场比赛;由于每场比赛都是2个队伍共同进行,所以总场次应该为N×(N-1)2;

  淘汰赛:每场比赛淘汰一支队伍,每轮比赛淘汰一半的队伍(如果总数不是偶数,比如说一共13支队伍,那么淘汰6支队伍,留下7支队伍)。在淘汰赛中,若需要决出冠军,则比赛场次为N-1;若需要决出前3名,则比赛场次为N。

  【例1】8个人比赛国际象棋,约定每两人之间都要比赛一局,胜者得2分,平局各得1分,负的不得分。在进行了若干局比赛之后,发现每个人的分数都不一样。问最多还有几局比赛没比?()

  A. 3B. 7

  C. 10D. 14

  【解析】 首先8个人两两配对进行比赛共有8×7÷2=28(局)比赛,由规则可知,每进行一局比赛就会产生2分,所以28局比赛的总分为56分。要使未进行的比赛局数尽可能多,也就是说未出现的分数尽可能多,则出现的分数要尽可能少,那么要保证8支队伍分数各不相同,且已出现的分数尽可能少,则可构造1个等差数列,最后一名为0分,其他队伍依次加1分,8支队伍最少总分为28分。那么还未出现的分数最多有28分,每局比赛出现2分,则最多还有14局比赛未比。选D。

  【例2】象棋比赛中,每个选手均与其他选手比赛一局,每局胜者得2分,负者得0分,和棋各得1分。那么以下可能是这次比赛所有选手得分的总和的是()。

  A. 78B. 67

  C. 56D. 89

  【解析】 由题意可知,每局比赛产生2分,故所有选手得分和应为偶数,排除B和D项。A选项代表比赛局数应为39局,C选项代表比赛局数为28局。根据比赛规则,比赛方式为单循环赛,若有n个选手,则比赛局数为C2n=n(n-1)2。当n=8时,n(n-1)2=28,选C。

  四、空瓶换酒问题

  我们一般将“M空瓶换N瓶酒”转化为“(M-N)空瓶换N(无瓶)酒”来完成答题。这样的题目默认是可以“借瓶再还瓶”的。

  空瓶换酒核心公式:N空瓶可换1瓶酒,则N瓶=1瓶酒=1瓶+1酒,得(N-1)瓶=1酒。

  【例】12个啤酒空瓶可以免费换1瓶啤酒,现有101个啤酒空瓶,最多可以免费喝到的啤酒为()。

  A. 10瓶B. 11瓶

  C. 8瓶D. 9瓶

  【解析】 本题考查空瓶换酒问题。根据题意可知,12个空瓶换1瓶酒,1瓶酒等于一个空瓶加1瓶的酒,所以题意等价于11瓶=1酒, 101÷11=9……2,即可换9瓶酒。选D。

  五、鸡兔同笼问题

  鸡兔同笼问题及其变形题目是公务员考试中经常出现的题型,这个问题也是我国古代著名趣题之一。其实鸡兔同笼问题也有固定的思路,简单实用。比如:

  某零件加工厂按照工人完成的合格零件和不合格零件数支付工资,工人每做出一个合格零件能得到工资10元,每做出一个不合格的零件将被扣除5元。已知某人一天共做了12个零件,得到工资90元,那么他在这一天做了多少个不合格零件?()

  A. 2B. 3

  C. 4D. 6

  我们假设12个零件全是合格的,应该得到12×10=120(元),现在某人只得到90元,少了120-90=30元。每做一个不合格的,不但得不到10元,还要扣5元,相对于合格也就是-15元。所以不合格的个数为(-30)÷(-15)=2(个)。

  当然,列方程的思路也很方便。设他这一天做了x个不合格的零件,由题意得:(12-x)×10-5x=90,解得x=2(个)。

  【例1】一辆卡车运矿石,晴天每天可运20次,雨天每天只能运12次,它一连运了112次,平均每天运14次,则这几天当中晴天有( )天。

  A.2B.4

  C.6D.8

  【解析】 这辆卡车一连运了112次,平均每天运14次,则可以求出这辆卡车一共运货的天数T=11214=8(天)。

  假设8天都是雨天,则一共可以运货8×12=96(次),比实际少运112-96=16(次)。

  之所以会比实际减少,是因为有晴天被当作了雨天,每有一个晴天被当作雨天,则运送次数少20-12=8(次),现在一共少了16次,所以一共有2个晴天。选A。

  【例2】已知蜘蛛有8条腿,蜻蜓有6条腿、2对翅膀,蝉有6条腿、1对翅膀。现有三种动物47只,共有腿324条,翅膀37对,则蜻蜓有多少只?( )

  A. 9B.10C.11D.12

  【解析】 这是一道稍微复杂点的鸡兔同笼问题。因为蜻蜓和蝉都有6条腿,所以我们假设它们是同一种动物。如果所有的动物都是蜘蛛,则一共有8×47=376条腿,比实际多376-324=52条腿。每有一只6条腿的动物,则比实际多算了2条腿(因为被当成了蜘蛛),所以52条腿需要26只6条腿的动物。即蜻蜓和蝉一共26只。

  现在,假设26只都是蝉,则有26对翅膀,比实际少37-26=11对。每有一只蜻蜓,则比实际少1对翅膀(蜻蜓被看作了蝉),所以一共有蜻蜓11只。选C。

  六、钟表问题

  钟表问题大概有3种,一种是标准时间问题,一种是时钟追及相遇问题,还有一种是周期问题。其中追及相遇问题可以看作是行程问题中的环形追及相遇问题,只不过两个人换成了时针和分针。而且我们会遇到各种“怪钟”,或者是“坏了的钟”,它们的时针和分针每分钟走的度数会与常规的时钟不同,总之,时钟问题不难,但是很细,需要仔细作答。

  钟面基本知识包括:

  ①时针一昼夜转2圈,分针一昼夜转24圈,分针与时针的转速之比为12∶1。

  ②时针与分针一昼夜重合22次,垂直44次,呈180°也是22次。

  ③时针与分针呈某个角度往往需要考虑到对称的两种情况。

  ④无论是标准表还是坏表,都是匀速转动的,只是速度不同而已。

  ⑤钟面上一分钟的间隔视作一个小格,五分钟的间隔视作一个大格。

  ⑥整个钟面为360度,上面有12个大格,每个大格为30度;60个小格,每个小格为6度。

  分针速度:每分钟走1小格,每分钟走6度

  时针速度:每分钟走1/12小格,每分钟走0.5度

  钟表问题追及公式:T=T0+111T0。其中:T为追及时间,即分针和时针“达到条件要求”的真实时间;T0为静态时间,即假设时针不动,分针和时针“达到条件要求”的虚拟时间。

  假设时针、分针的转动角速度分别为v、12v,分针需要追及的角度为S,需要追及的时间为T。为方便比较,我们再假设如果时针静止时,分针需要追及的时间为T0(静态时间),那么:

  S=(12v-v)T

  S=(12v-0)T0所以可以推出T=1211T0,即T=T0+111T0。

  【例1】小张的手表每天快30分钟,小李的手表每天慢20分钟,某天中午12点,两人同时把表调到标准时间,则两人的手表再次同时显示标准时间最少需要的天数为()。

  A.24B.36C. 72D.144

  【解析】 由题意可知,再次显示标准时间12时,小张的手表实际比标准时间多走12小时,小李的手表实际上比标准时间少走12小时,因此小张的手表需要12÷0.5=24(天),小李的手表需要12÷13=36(天),取24和36的最小公倍数为72天。因此72天以后两人的手表都显示标准时间。

  【例2】张某下午六时多外出买菜,出门时看手表,发现表的时针和分针的夹角为110°,七时前回家时又看手表,发现时针和分针的夹角仍是110°,那么张某外出买菜用了多少分钟?()

  A. 20分钟B. 30分钟

  C. 40分钟D. 50分钟

  【解析】 因为是六点多出去,六点多回来,显然是前面分针与时针角度差110°,后面时针与分针差110°,即分针反超110°,也就是相对于时针运行了220°。分针每分钟运转6°,时针每分钟0.5°,速度差是5.5°。所以外出用的时间T=220÷5.5=40(分钟)。

  如果利用追及公式呢?经过简单分析,这段时间分针应该追上时针2个110°,即220°,那么静态时间应该是:T0=220°×60360°=1103(分钟)。真实时间:T=T0+T011=40(分钟)。

  七、年龄问题

  ①每过N年,每个人都长N岁。

  ②两个人的年龄差在任何时候都是固定不变的。

  ③两个人的年龄倍数关系随着时间推移而变小。

  年龄问题的关键是年龄差。一般列方程比较快。

  【例1】小李的弟弟比小李小2岁,小王的哥哥比小王大2岁、比小李大5岁。1994年,小李的弟弟和小王的年龄之和为15。问2014年小李与小王的年龄分别为多少岁?()

  A.25,32B.27,30

  C.30,27D.32,25

  【解析】 简单到不能再简单的题了,2015年国考地市级题目。小李比小王小3岁。抓住这个年龄差,发现只有B项合适。

  【例2】一家四口人的年龄之和为149岁,其中外公年龄、母亲年龄以及两人的年龄之和都是平方数,而父亲7年前的年龄正好是孩子年龄的6倍。问外公年龄上一次是孩子年龄的整数倍是在几年前?()

  A. 2B. 4

  C. 6D. 8

  【解析】 本题中的暗含条件:外公和母亲的年龄是直角三角形的两直角边的平方,从最常用的6、8、10可断定母亲和外公的年龄分别为36和64岁。则父亲与儿子的年龄和为149-100=49,7年前父亲与儿子的年龄和为49-14=35(岁),儿子七年前年龄为35÷7=5(岁),今年儿子12岁,代入选项:

  2年前:外公62岁,儿子10岁,不能整除;

  4年前:外公60岁,儿子8岁,不能整除;

  6年前:外公58岁,儿子6岁,不能整除;

  8年前:外公56岁,儿子4岁,可以整除。

  选D。

  八、日期推断问题

  平年:不能被4整除,全年365天,2月28天。

  闰年:可以被4整除,全年366天,2月29天。

  月:每年有12个月,一、三、五、七、八、十、十二月,每月31天;二月在闰年是29天,平年28天,其他月份每月30天。

  周:每周7天,每隔N天,相当于(N+1)天,这点很重要,在题目中经常遇到每隔N天的情况。

  天:平年有365天,365÷7=52…1,那么提问“365天之后(即1年之后)星期几”就等同于提问“1天之后星期几”,提问“N年之后星期几”就等同于提问“N天之后星期几”,闰年跟平年比仅仅多了一个“2月29日”,那么在进行实际计算的时候,我们先假设“一年就是一天”,再计算两个日期之间包含了多少个“2月29日”,再把这些天补上即可。这个结论也很重要,在推算N年后星期几时可以省掉大量计算,提高做题速度。

  【例1】从A市到B市的航班每周一、二、三、五各发一班。某年2月最后一天是星期三。问当年从A市到B市的最后一次航班是星期几出发的?()

  A.星期一B.星期二

  C.星期三D.星期五

  【解析】 2月最后一天是星期三,从2月最后一天到12月31日恰好经过3—12月共10个月,一共有31+30+31+30+31+31+30+31+30+31=306(天),306÷7=43……5,也就是经过43个星期还多5天,星期三之后5天为星期一,选A。

  【例2】根据国务院办公厅部分节假日安排的通知,某年8月份有22个工作日,那么当年的8月1日可能是()。

  A. 周一或周三B. 周三或周日

  C. 周一或周四D. 周四或周日

  【解析】 观察选项,代入验证。由于8月有31天,若8月1日为周一,则容易看出8月份一共会有23个工作日,不满足条件,故排除A、C两项;若8月1日为周三,计算可以发现8月份会有23个工作日,不满足条件,故排除B项。因此本题选择D。

  【例3】A、B、C、D四人去羽毛球馆打球,A每隔5天去一次,B每隔11天去一次,C每隔17天去一次,D每隔29天去一次,5月18日,四个人恰好在羽毛球馆相遇,则下一次相遇时间为?()

  A. 9月18日B. 10月14日

  C. 11月14日D. 12月18日

  【解析】 注意“每隔N天”,A、B、C、D分别每6、12、18、30天去一次羽毛球馆,这四个数的最小公倍数为180,现在为5月18日,题目转化为180天后的日期,5月份此时还剩13天,6、7、8、9、10月分别有30、31、31、30、31天,180-(13+30+31+31+30+31)=14,即最终日期为11月14日,选C。

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